МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до практичних робіт для студентів базового напрямку "Комп’ютерні науки" спеціальності “Інформаційні управляючі системи та технології” Затверджено на засіданні кафедри автоматизовані системи управління Протокол ( 12-2006/2007 від 30.05.2007 року Львів - 2007 ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 4-5. НЕПЕРЕРВНО-СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ (Q-СХЕМИ). 6.1. Основні поняття Q – схем. Застосування цього підходу розгланемо на прикладі використання математичних схем систем масового обслуговування. Для всіх цих моделей характерним є випадковий процес їх функціонування. Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування (рис.6.1).
Рис. 6.1. Одноканальна система масового обслуговування. де Yi-вихідний потік, ui-час обслуговування заявки, wi-час очікування обслуговування заявкою, (i- кількість заявок, які поступають в одиницю часу, ni- кількість заявок в системі, ni=li+(i, де (і- коефіцієнт завантаження, li- кількість заявок в черзі. Потік подій називається однорідним, якщо він характеризується тільки моментами наступлення цих подій, {tn} 0=t1<t2<...<tn і ніяк не характеризує самі події. Однорідний потік подій може також задаватися проміжками часу між послідовними подіями {(n}, (1=t1-t0, (2=t2-t1, ..., (n=tn-tn-1. Потік неоднорідних подій - це послідовність, яка характеризується двома параметрами {tn,fn}, tn- моменти часу наступлення події, fn- набір ознак цієї події. Потік подій називається потоком з обмеженою післядією, якщо сумісна функція густини інтервалів (i може бути представлена наступним чином: f(z1,z2,...,zn)=f(z1)f(z2)...f(zn). Потік подій називається ординарним, якщо lim[((t0,t)/t]=0 при t→0, де функція ((t0,t) - ймовірність появи двох і більше подій на проміжку часу t. Нехай заданий цілочисельний вектор k=(k1,k2,...,kn), і вектор t=(t1,t2,...,tn). Визначимо pk(t0,t) як ймовірність появи k1 подій на проміжку часу від t0 до t1 , k2 подій на проміжку часу від t1 до t2 і т.д. Якщо ця функція не залежить від t0, а визначається тільки векторами t і k, то потік називається стаціонарним. Для стаціонарного потоку справедливим є співвідношення f(z2)=f(z3)=...=f(zn), де n>1.
, де m-середнє значення проміжку часу між моментами наступлення подій. f(z) - функція густини закону розподілу проміжків часу. m=1/(, де ( - інтенсивність вхідного потоку. Для стаціонарного потоку з обмеженою післядією має місце формула Пальма:
- функція розподілу інтервалу τ1. Вона дозволяє знайти розподіл (1, якщо відомий розподіл для всіх інших інтервалів починаючи з другого. Для рівномірного закону розподілу:

Математичне сподівання:
Розподіл інтервалів часу (і:
M(τ1)=b/3 - математичне сподівання τ1. Якщо ймовірність pk(t0,t) поступлення k заявок в інтервалі часу (t0,t0+t) не залежить від чередування подій до моменту t0, тобто, якщо умовна ймовірність pk(t0,t) , яка обчислена при будь-якому припущенні послідовності подій до моменту t0 дорівнює безумовній ймовірності тої ж події, то потік називається потоком без післядії. Єдиним стаціонарним ординарним потоком без післядії є найпростіший потік або потік Пуасона, для якого функція розподілу кількості подій на проміжку часу t дорвнює: pk(t0,t)=(((t)k / k!)*e-( t, f(z)=(*e-( t, f(z1)=(*e-( t. 6.2. Q - схема типу M|M|1 (за класифікацією Кендела). Ця система може бути описана процесом розмноження і загибелі з постійними інтенсивностями народження ( і загибелі (. Процес представляє процес розмноження і загибелі, якщо він є однорідним ланйюгом маркова x(t) з множиною станів {0,1,...}, якщо події розмноження і загибелі є незалежними подіями і якщо виконуються наступні умови: В1: P[за проміжок часу (t відбудеться народження 1 заявки при умові, що в популяції к заявок]=( (t+О((t). D1: P[за проміжок часу (t відбудеться загибель 1 заявки при умові, що в популяції к заявок]=( (t+О((t). B2: P[за проміжок часу (t не відбудеться народження жодної заявки при умові, що в популяції к заявок]=1-( (t+...